非平凡奇点 (Non-trivial Singularity)

定义:
在复分析中，若一个函数在某一点的洛朗级数展开式中含有无限多个负幂项，则称该点为该函数的非平凡奇点（也称为本性奇点或本质奇点）。

解释:
非平凡奇点是复变函数中的一种奇点类型，它与可去奇点和极点不同。在非平凡奇点附近，函数的行为非常复杂，例如函数值可能会在该点附近任意接近任何复数（皮卡定理）。

例子:
函数 e^(1/z) 在 z = 0 处有一个非平凡奇点。

紧致扰动 (Compact Perturbation)

定义:
在泛函分析中，若一个线性算子可以表示为一个紧算子加上一个有界线性算子，则称该算子为紧致扰动。

解释:
紧致扰动通常出现在算子理论的研究中，它可以用来研究算子的谱性质。例如，紧致扰动不会改变算子的本质谱。

例子:
在 Hilbert 空间上，单位算子加上一个有限秩算子是一个紧致扰动。

一致有界 (Uniformly Bounded)

定义:
在泛函分析中，若一族线性算子在算子范数意义下有界，则称该族算子一致有界。

解释:
一致有界性原理是泛函分析中的一个重要定理，它表明一族逐点有界的线性算子必然一致有界。这个定理在研究算子族的性质时非常有用。

例子:
在 Banach 空间上，若一族线性算子在每一点都将单位球映射到一个有界集，则该族算子一致有界。

一致连续 (Uniformly Continuous)

定义:
在数学分析中，若一个函数在定义域上的任意一点，只要自变量的变化足够小，函数值的变化就可以任意小，则称该函数为一致连续函数。

解释:
一致连续性比连续性更强。一致连续函数在整个定义域上都具有相同的连续性，而连续函数的连续性可能在不同点处有所不同。

例子:
函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上是一致连续的，但在整个实数轴上不是一致连续的。

什么是 Pre-Hilbert 空间？

定义:
Pre-Hilbert 空间，也称为内积空间，是一个向量空间，它配备了一个内积，该内积是一个将两个向量映射到一个标量的函数，满足以下性质： 正定性: <x, x> ≥ 0，且 <x, x> = 0 当且仅当 x = 0。 线性性: <ax + by, z> = a<x, z> + b<y, z>，其中 a 和 b 是标量。 共轭对称性: <x, y> = <y, x>，其中 * 表示复共轭。 解释:
Pre-Hilbert 空间是 Hilbert 空间的前身。它具备了内积的概念，可以用来定义向量的长度、距离和角度等几何概念。然而，Pre-Hilbert 空间不一定完备，也就是说，它里面的 Cauchy 序列不一定收敛到空间内的某个向量。
与 Hilbert 空间的关系:
Hilbert 空间是一个完备的内积空间。也就是说，一个 Pre-Hilbert 空间如果完备，那么它就是一个 Hilbert 空间。可以将任何 Pre-Hilbert 空间完备化，得到一个 Hilbert 空间，这个过程类似于将有理数完备化得到实数的过程。
例子:
欧氏空间 R^n: R^n 中的向量可以进行点积运算，点积就是一个内积，因此 R^n 是一个 Pre-Hilbert 空间，同时也是一个 Hilbert 空间，因为它完备。 复数空间 C^n: C^n 中的向量可以进行类似的内积运算，因此 C^n 也是一个 Pre-Hilbert 空间，同时也是一个 Hilbert 空间。 连续函数空间 C[a, b]: 在区间 [a, b] 上的连续函数空间 C[a, b] 可以定义一个内积：<f, g> = ∫_a^b f(x)g(x) dx。这个内积使得 C[a, b] 成为一个 Pre-Hilbert 空间。然而，C[a, b] 不是完备的，因此它不是 Hilbert 空间。