为什么我们要弱不要强？

动机:

在经典微积分中，一个函数的可导性要求它在每一点都存在导数，并且导数是一个函数。 然而，许多重要的函数，例如分段函数或不连续函数，并不满足这个条件。 弱导数的概念允许我们为这些函数定义一种广义的导数，即使它们在经典意义下不可导。

弱导数是将导数的概念推广到不一定是可微函数的情况。它基于分布理论 (distribution theory)，允许我们为更广泛的函数定义“导数”。

定义

具体来说，如果函数 ( u ) 的弱导数 ( v ) 存在，那么对于任意的连续可微且带紧支集的测试函数 ( \varphi )，以下积分公式成立： ∫U​uDαφdx=(−1)∣α∣∫U​vφdx 其中，( \alpha ) 是多重指标，( D^\alpha ) 表示相应的偏导数

与分布理论 (distribution theory)的关系

什么是紧支集

一个函数具有紧支集是指该函数在某个紧集（即闭且有界的集合）外为零。换句话说，函数的支集（即函数不为零的点的集合）是一个紧集。例如，定义在实数域上的函数 ( f(x) ) 如果在某个闭区间外为零，那么它就具有紧支集。

什么是多重指标

多重指标是一种简化多变量微积分、偏微分方程和分布理论中公式的数学符号。一个 ( n ) 维多重指标是一个由非负整数组成的 ( n ) 元组 ( \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) )。多重指标用于表示偏导数和幂次，例如： Dα=∂x1α1​​∂x2α2​​⋯∂xnαn​​∂∣α∣​ 其中 ( |\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n ) 表示多重指标的阶数

什么是测试函数

测试函数是定义在某个开集上的无限可微且具有紧支集的函数。测试函数通常用于分布理论中，用来定义分布的作用。设 ( \varphi ) 是一个测试函数，那么对于任意分布 ( T )，我们有： ⟨T,φ⟩ 表示分布 ( T ) 对测试函数 ( \varphi ) 的作用