魔方?圆?置换?

在对抽象代数进行综述之前,我们可以自由地想象一下在代数之后为啥还有叫做群的物种存在?目的意义?内容?解决了什么问题?有什么性质?重点在哪儿?所有这些无聊的问题看上去有意义,其实言之无物。因为我们竟然骄傲到认为可以凭空想象,产生,生成,与历史吻合的内容?这是最荒谬的!不要再做这种空泛的想象,问一些漫无边际与主题无关的问题了吧,清空,放松,深呼吸,开挖!
一提到抽象代数,这是从整数和集合开始的,初学面向对象编程,很多书本都会举的一个例子是关于图像绘制的,说有三种不同的形状——三角形,圆形,和正方形,然后在绘制的时候呢,我们抽象出一个叫做shape的类,这个类包含一个方法叫做draw,三角形类,圆形类,正方形类分别去继承这个shape.那么类似的,我们做一个假设,假设抽象代数就是想把整数和集合这个我们已经“熟悉”的对象给模糊化.我们接触过浩如烟海的对象,我们做一个假设,就是会遇到不计其数的属性,那我们的任务就是有机地把这些属性增加到熟悉的对象上去,并且随着旅程的进行,会有一些陌生的结构应运而生,这一切是非常模糊的表述,得举具体的例子.

抽象代数或者说群论最容易想到的例子是多变形的旋转,由三边形开始,四边形,五边形,一直到n变形,它们形成的群叫做dihedral群,写作Dn.另外一个丰富的例子来源是置换. 对n个整数而言,它们的置换构成群.满足群的条件有4个.

  • 包含单位e
  • 任何一个元素都有逆
  • 任意两个元素的”积”最后还是落在群中
  • 群满足结合律. 注意,任何两个元素ab 不一定的满足交换律,称为非abelian群.一个容易想到的例子来源是矩阵的相乘不满足交换律.这里的积打引号,是说它并不是指的数的乘积.它代表的具体含义需要通过上下文确定.
    在旋转6边形的例子中,我们容易引出子群的概念.想象一个6边形内部接一个3边形,判断子群的方法是看它是否满足上面群条件的前面3条.
    关于群的元素个数成为order,但是对群内的每个元素r,若成立r ^n = e,那么可以说这个元素r的order是n,群的order和群内元素的order不是一回事.
    在建立了群与子群概念,群的order的概念之后,我们接下来,看到不同场景下会得到结构上高度一致的群,只是label不一样,也就是标签不一样.旋转一个黑白相间的棋盘,我们会得到的群,与置换一个Sn群,得到的结构高度一致,我们称这两个群是isomorphsim的. 接下来,我们有一个叫做Clay定理说,所有的群都跟置换群Sn是isomorphsim的.这个对所有的群下的命题是令人困惑也是令人振奋的.因为刚开始接触群没多久,我们就能够对那些我们还没见到的,那些即将见到的群做出这么胆大包天的断言.当然,这个证明最好要自己说服自己.
    基于以上的基本定理有所了解之后,不禁要问,群的order与子群的order有关系吗?如果有,是什么关系,如果没有关系,能证明吗?在这之前还需要了解