魔方？圆？置换？

在对抽象代数进行综述之前，我们可以自由地想象一下在代数之后为啥还有叫做群的物种存在？目的意义？内容？解决了什么问题？有什么性质？重点在哪儿？所有这些无聊的问题看上去有意义，其实言之无物。因为我们竟然骄傲到认为可以凭空想象，产生，生成，与历史吻合的内容？这是最荒谬的！不要再做这种空泛的想象，问一些漫无边际与主题无关的问题了吧，清空，放松，深呼吸，开挖！
一提到抽象代数,这是从整数和集合开始的,初学面向对象编程,很多书本都会举的一个例子是关于图像绘制的,说有三种不同的形状——三角形,圆形,和正方形,然后在绘制的时候呢,我们抽象出一个叫做shape的类,这个类包含一个方法叫做draw,三角形类,圆形类,正方形类分别去继承这个shape.那么类似的,我们做一个假设,假设抽象代数就是想把整数和集合这个我们已经“熟悉”的对象给模糊化.我们接触过浩如烟海的对象,我们做一个假设,就是会遇到不计其数的属性,那我们的任务就是有机地把这些属性增加到熟悉的对象上去,并且随着旅程的进行,会有一些陌生的结构应运而生,这一切是非常模糊的表述,得举具体的例子.

抽象代数或者说群论最容易想到的例子是多变形的旋转,由三边形开始,四边形,五边形,一直到n变形,它们形成的群叫做dihedral群,写作Dn.另外一个丰富的例子来源是置换. 对n个整数而言,它们的置换构成群.满足群的条件有4个.

  • 包含单位e
  • 任何一个元素都有逆
  • 任意两个元素的”积”最后还是落在群中
  • 群满足结合律. 注意,任何两个元素ab 不一定的满足交换律,称为非abelian群.一个容易想到的例子来源是矩阵的相乘不满足交换律.这里的积打引号,是说它并不是指的数的乘积.它代表的具体含义需要通过上下文确定.
    在旋转6边形的例子中,我们容易引出子群的概念.想象一个6边形内部接一个3边形,判断子群的方法是看它是否满足上面群条件的前面3条.
    关于群的元素个数成为order,但是对群内的每个元素r,若成立r ^n = e,那么可以说这个元素r的order是n,群的order和群内元素的order不是一回事.
    在建立了群与子群概念,群的order的概念之后,我们接下来,看到不同场景下会得到结构上高度一致的群,只是label不一样,也就是标签不一样.旋转一个黑白相间的棋盘,我们会得到的群,与置换一个Sn群,得到的结构高度一致,我们称这两个群是isomorphsim的. 接下来,我们有一个叫做Clay定理说,所有的群都跟置换群Sn是isomorphsim的.这个对所有的群下的命题是令人困惑也是令人振奋的.因为刚开始接触群没多久,我们就能够对那些我们还没见到的,那些即将见到的群做出这么胆大包天的断言.当然,这个证明最好要自己说服自己.
    基于以上的基本定理有所了解之后,不禁要问,群的order与子群的order有关系吗?如果有,是什么关系,如果没有关系,能证明吗?在这之前还需要了解

基础概念：群、环、域

  1. 什么是群？

群是一个集合 G，连同一个二元运算 *，满足以下四个公理：

封闭性: 对于 G 中任意元素 a 和 b，a * b 也属于 G。 结合律: 对于 G 中任意元素 a、b 和 c，(a * b) * c = a * (b * c)。 单位元: G 中存在一个元素 e，称为单位元，使得对于 G 中任意元素 a，e * a = a * e = a。 逆元: 对于 G 中任意元素 a，存在一个元素 a⁻¹，称为 a 的逆元，使得 a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e。 例子：

整数加法群 (ℤ, +): 整数集合 ℤ 在加法运算下构成一个群。 非零实数乘法群 (ℝ, ·):* 非零实数集合 ℝ* 在乘法运算下构成一个群。 n 阶循环群 (ℤₙ, +ₙ): 模 n 的整数集合 ℤₙ = {0, 1, 2, …, n-1} 在模 n 加法运算下构成一个群。

  1. 什么是阿贝尔群？

阿贝尔群，也称为交换群，是满足交换律的群。即对于群 G 中任意元素 a 和 b，a * b = b * a。

例子：

阿贝尔群: 整数加法群 (ℤ, +)，非零实数乘法群 (ℝ*, ·)， n 阶循环群 (ℤₙ, +ₙ)。 非阿贝尔群: 3 阶以上的对称群 Sₙ (例如，S₃ 是由 {1, 2, 3} 的所有排列组成的群，运算为排列的复合)。

  1. 什么是子群？

群 (G, *) 的子群是一个非空子集 H，在 G 的运算 * 下也构成一个群。

判断子集是否是子群的条件：

封闭性: 对于 H 中任意元素 a 和 b，a * b 也属于 H。 单位元: G 的单位元 e 也属于 H。 逆元: 对于 H 中任意元素 a，a 的逆元 a⁻¹ 也属于 H。

  1. 什么是循环群？

循环群是由一个元素生成的群。即存在一个元素 g ∈ G，使得 G 中的每个元素都可以写成 g 的幂的形式 (g⁰, g¹, g², g⁻¹, …)。一个无限循环群与整数加法群同构。

  1. 拉格朗日定理是什么？

拉格朗日定理指出，设 H 是有限群 G 的子群，则 H 的阶 (H 中元素的个数) 整除 G 的阶。其重要性在于揭示了有限群的子群的阶与其母群的阶之间的关系。

  1. 什么是群同态？

群同态是从一个群 (G, *) 到另一个群 (H, •) 的映射 φ: G → H，满足对于 G 中任意元素 a 和 b，φ(a * b) = φ(a) • φ(b)。

例子： 行列式映射: det: GL(n, ℝ) → ℝ*

核: ker(φ) = {g ∈ G φ(g) = e_H} 像: im(φ) = {h ∈ H 存在 g ∈ G, 使得 φ(g) = h}
  1. 什么是正规子群？

群 G 的正规子群 (也称为不变子群) 是一个子群 N，满足对于 G 中任意元素 g 和 N 中任意元素 n，gng⁻¹ 也属于 N。正规子群 N 允许我们定义 G 的商群 G/N。

  1. 什么是环和域？

环: 一个集合 R，连同两个二元运算 + 和 ·，满足以下公理：

(R, +) 是一个阿贝尔群。 乘法满足结合律: (a · b) · c = a · (b · c)。 乘法对加法满足分配律: a · (b + c) = a · b + a · c 且 (a + b) · c = a · c + b · c。 例子： 整数环 (ℤ, +, ·)，实数环 (ℝ, +, ·)，n × n 矩阵环 (Mₙ(ℝ), +, ·)

域: 是一个环，其中非零元素集合在乘法下构成一个阿贝尔群。

例子： 有理数域 (ℚ, +, ·)，实数域 (ℝ, +, ·)，复数域 (ℂ, +, ·)

  1. 什么是理想？

环 R 的理想是一个非空子集 I，满足以下条件：

加法封闭: 对于 I 中任意元素 a 和 b，a + b 也属于 I。 吸收性: 对于 R 中任意元素 r 和 I 中任意元素 a，r · a 和 a · r 都属于 I。 例子： 偶数集 2ℤ

  1. 什么是主理想、极大理想和素理想？

主理想: 由单个元素生成的理想。即，对于环 R 中的元素 a，主理想 (a) = {ra | r ∈ R}。 极大理想: 一个理想 M 是环 R 的极大理想，当且仅当 R/M 是一个域。 素理想: 一个理想 P 是环 R 的素理想，当且仅当 R/P 是一个整环。 进阶概念：同构定理、自由群、群的表现

  1. 同构定理的应用？

同构定理连接了群/环，正规子群/理想和商群/商环之间的关系。

第一同构定理: 设 φ: G → H 是群同态，则 G/ker(φ) 与 im(φ) 同构。 第二同构定理: 设 G 是群，H 是 G 的子群，N 是 G 的正规子群，则 H/(H ∩ N) 与 HN/N 同构。 第三同构定理: 设 G 是群，N 和 M 是 G 的正规子群，且 N 是 M 的子群，则 (G/N)/(M/N) 与 G/M 同构。

  1. 什么是自由群？

自由群 F(S) 是由集合 S 生成的，满足除了群公理以外没有任何其他关系的群。

  1. 什么是群的表现？

群 G 的表现是 G 到一个向量空间 V 的自同构群 GL(V) 的一个群同态。

例子： 置换表示，正则表示

有限群、可解群与伽罗瓦理论

  1. Sylow定理的重要性？

Sylow 定理描述了有限群的 Sylow p-子群 (阶为 p 的幂的子群) 的存在性和数量，是有限群理论中的一个基石。

  1. 什么是可解群？

一个群 G 被称为可解群，如果存在一个正规子群列 {e} = G₀ ⊲ G₁ ⊲ … ⊲ Gₙ = G，使得每个商群 Gi+1/Gi 都是阿贝尔群。

例子： 阿贝尔群，n 阶二面体群 Dₙ，任何 p-群

环的特征、整环与唯一分解整环

  1. 什么是环的特征？

环 R 的特征是最小的正整数 n，使得对于 R 中任意元素 a，na = 0。

  1. 什么是整环？

一个非零环 R 被称为整环，如果它没有零因子。

  1. 什么是唯一分解整环？

一个整环 R 被称为唯一分解整环，如果 R 中的每个非零非单位元素都可以唯一地分解成不可约元素的乘积。

例子： 整数环 ℤ，多项式环 K[x]

多项式环、域扩张与高级主题

  1. 什么是多项式环？

设 R 是一个环，则 R[x] 表示系数在 R 中的多项式环。

  1. 什么是域扩张？

域扩张是指一个域 K 包含在另一个域 L 中，记作 L/K。

  1. 伽罗瓦理论的基本思想？

伽罗瓦理论将域扩张与其对应的伽罗瓦群 (自同构群) 联系起来。

  1. 什么是模？

模是向量空间的推广，向量空间的标量是域中的元素，而模的标量是环中的元素。

  1. 什么是Noether环？

一个环 R 被称为 Noether 环，如果它的每个理想都是有限生成的。

  1. 张量积的概念和应用？

张量积是将两个向量空间 (或模) 组合成一个新的向量空间 (或模) 的方法。

  1. 什么是李代数？

李代数是一个向量空间，配备了一个称为李括号的双线性运算，满足雅可比恒等式。

  1. 代数拓扑与抽象代数的联系？

代数拓扑利用抽象代数的工具来研究拓扑空间。

  1. 范畴论的基本概念和应用？

范畴论是研究数学结构之间关系的抽象理论。

  1. 什么是同调代数？

同调代数是研究同调和上同调理论的代数工具。

  1. 表示论的基本思想和应用？

表示论研究群和代数的线性表示。

  1. 抽象代数未来发展方向？

抽象代数的未来发展方向可能包括与其他数学领域的更深入的交叉和融合，在其他学科中的应用不断扩展，新的抽象代数结构和理论的发现，以及利用计算工具来解决抽象代数问题。