总感觉所有的函数都能最后能够用初等函数表达式来表达，数学中有一个专有名词来形容这种感觉，解析函数。但是感觉不一定就是对的。

常见的解析函数:

解析函数的性质：

可导性: 解析函数在其解析区域内是无限次可导的。
柯西-黎曼方程: 如果一个复变函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 在某个区域内解析，则其实部 u(x, y) 和虚部 v(x, y) 满足柯西-黎曼方程：
```
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
```
唯一性定理: 如果两个解析函数在某个区域内相等，则它们在整个复平面上都相等。
解析延拓: 如果一个函数在某个区域内解析，则它可以唯一地延拓到更大的区域内。

分段研究: 很多非解析函数是由分段函数定义的，例如绝对值函数 f(z) = |z|。对于这类函数，可以将它们分解成不同的解析函数片段，并在每个片段上分别进行研究。然后，需要仔细分析函数在分段点处的行为，例如连续性、可导性等。
逼近理论: 可以尝试用解析函数序列来逼近非解析函数。例如，可以用多项式函数逼近连续函数，或者用傅里叶级数逼近周期函数。通过分析逼近函数序列的性质，可以推断出原函数的一些性质。这类方法在数值分析和信号处理中非常有用。
分布理论 (Distribution Theory): 分布理论是研究广义函数的理论，可以用来处理一些非常不规则的函数，例如狄拉克δ函数。在分布理论的框架下，可以定义非解析函数的导数等概念，并进行相关的分析。这类方法在物理学和工程学中有着广泛的应用。
利用函数的特定性质: 对于一些特殊的非解析函数，可以利用它们的特定性质进行研究。例如，对于共轭函数 f(z) = z̅，可以利用它的几何意义来理解它的性质。
数值方法: 对于难以进行解析研究的非解析函数，可以采用数值方法进行研究。例如，可以使用有限差分法或有限元法来求解包含非解析函数的微分方程。这类方法在实际应用中非常重要。

非解析函数的表达式则可能更加复杂，或者无法用初等函数来表达。例如：