Stokes’s theorem
Gaussian curvature
the Levi-Civita connection
the Lie derivative
foliations
van Kampen theorem
Poincaré’s lemma
de Rham cohomology and theorem
Frobenius theorem
Gauss-Bonnet theorem

整体联系：

它们大体上可以分为两组：

微分几何: Stokes’s theorem, Gaussian curvature, the Levi-Civita connection, the Lie derivative, Frobenius theorem, Gauss-Bonnet theorem
代数拓扑: foliations, van Kampen theorem, Poincaré’s lemma, de Rham cohomology and theorem 微分几何组主要关注流形上的几何结构，例如曲率、联络、向量场等，并研究它们之间的关系。

代数拓扑组主要关注拓扑空间的代数不变量，例如同调群、基本群等，并利用这些不变量来区分不同的拓扑空间。

细节分析及例子:

Stokes’s theorem (斯托克斯定理):

作用: 将流形上的积分与边界上的积分联系起来，是微积分基本定理的高维推广。影响: 是微分几何和数学分析的基石，广泛应用于物理学，例如电磁学中的麦克斯韦方程组。例子: 计算向量场在曲面上的通量可以通过计算向量场旋度在曲面所围区域上的积分。

Gaussian curvature (高斯曲率):

作用: 描述曲面在一点的弯曲程度。影响: 是微分几何的核心概念，对于理解曲面的几何性质至关重要。例子: 球面上的高斯曲率是正的，平面上的高斯曲率是零，马鞍面上的高斯曲率是负的。

The Levi-Civita connection (列维-奇维塔联络):

作用: 定义了黎曼流形上向量场的协变导数，允许我们在曲面上进行微积分运算。影响: 是黎曼几何的基础，对于研究广义相对论至关重要。例子: 在球面上，Levi-Civita 联络可以用来定义测地线，即球面上两点之间的最短路径。

The Lie derivative (李导数):

作用: 描述向量场沿着另一个向量场的变化率。影响: 是微分几何和李群理论的重要工具，用于研究对称性和守恒律。例子: 可以用来描述流体流动中速度场的变化。

Foliations (叶状结构):

作用: 将流形分解成低维子流形的并集。影响: 是研究动力系统和微分拓扑的重要工具。例子: 环面上的经线和纬线构成两个叶状结构。

Van Kampen theorem (范坎彭定理):

作用: 通过将拓扑空间分解成更简单的部分来计算其基本群。影响: 是代数拓扑的重要工具，用于研究拓扑空间的连通性。例子: 可以用来计算圆环的基本群。

Poincaré’s lemma (庞加莱引理):

作用: 说明在可缩区域上，闭形式一定是恰当形式。影响: 是de Rham上同调理论的基础，对于研究流形的拓扑性质至关重要。例子: 在欧几里得空间中，任何闭形式都是恰当形式。

De Rham cohomology and theorem (德拉姆上同调和定理):

作用: 将流形的拓扑性质与微分形式联系起来。影响: 是微分几何和代数拓扑的桥梁，为研究流形提供了强大的工具。例子: 可以用来计算流形的贝蒂数，从而区分不同的拓扑空间。

Frobenius theorem (弗罗贝尼乌斯定理):

作用: 给出向量场组构成可积分布的条件。影响: 是微分几何和偏微分方程理论的重要工具，用于研究积分流形的存在性。例子: 可以用来判断一个向量场组是否可以构成一个叶状结构。

Gauss-Bonnet theorem (高斯-博内定理):

作用: 将曲面的高斯曲率与其拓扑不变量联系起来。影响: 是微分几何的经典定理，揭示了曲面的几何性质与其拓扑性质之间的深刻联系。例子: 球面的总曲率等于4π，这与其欧拉示性数2相对应。一些定理之间的直接联系：

Stokes’s theorem 是 de Rham 定理的关键组成部分.
Levi-Civita 联络用于定义曲率，进而可以计算 Gaussian curvature.
Frobenius theorem 可以用来判断一个向量场组是否构成一个 foliation.
Gauss-Bonnet theorem 将 Gaussian curvature 与拓扑不变量 (欧拉示性数) 联系起来.

利用微分结构研究拓扑性质。

微分几何方面:

Levi-Civita 联络: 提供了在流形上进行微分的工具，是计算曲率、联络等微分几何量的基础。
高斯曲率: 描述了流形局部的弯曲程度，是微分几何的核心概念。李导数: 描述了向量场沿着另一个向量场的变化率，揭示了流形上的对称性和守恒律。
Stokes 定理: 将流形上的积分与边界上的积分联系起来，是将微分形式与拓扑联系起来的桥梁。
Frobenius 定理: 提供了判断向量场组是否构成可积分布的条件，这与叶状结构（一种拓扑结构）密切相关。
Gauss-Bonnet 定理: 将高斯曲率（微分几何量）与欧拉示性数（拓扑不变量）联系起来，是微分几何与拓扑联系的经典例子。

代数拓扑方面:

叶状结构: 将流形分解成低维子流形的并集，揭示了流形的拓扑结构。
Van Kampen 定理: 通过将拓扑空间分解成更简单的部分来计算其基本群，揭示了拓扑空间的连通性。
Poincaré 引理: 说明在可缩区域上，闭形式一定是恰当形式，为 de Rham 上同调理论提供了基础。
de Rham 上同调和定理: 将流形的拓扑性质与微分形式（微分几何对象）联系起来，是利用微分结构研究拓扑性质的典范例子。

外延

指标定理: 将椭圆算子的解析指标（微分几何量）与其拓扑指标（拓扑不变量）联系起来。
Hodge 理论: 将流形的拓扑性质与调和形式（微分几何对象）联系起来。

总结

这些定理和概念共同构建了一个强大的框架，使得我们能够利用微积分和微分几何的工具来研究拓扑空间的性质。它们揭示了局部微分结构与全局拓扑性质之间的深刻联系，并为现代数学和物理学的发展提供了重要的工具和思想。