几乎处处这种看上去不够严谨的说法为啥能用？

范围：

在数学中，特别是测度论和泛函分析中，”almost everywhere” (几乎处处) 是一个重要的概念，用于描述一个性质在一个测度空间中“几乎”处处成立的情况。

“almost everywhere” 意味着一个性质在一个集合上成立，除了一个测度为零的集合外。换句话说，不满足该性质的点的集合的测度为零。

例子

为什么 “almost everywhere” 能用: 在许多数学应用中，我们更关心函数或性质的整体行为，而不是个别点的行为。 测度为零的集合在积分、极限和收敛性等方面通常可以忽略，因此 “almost everywhere” 的概念允许我们忽略这些“微不足道”的点，从而得到更简洁、更强大的结果。 例子: 狄利克雷函数: 狄利克雷函数在有理数处取值为 1，在无理数处取值为 0。 由于有理数集的勒贝格测度为零，我们可以说狄利克雷函数几乎处处等于零。 可测函数的收敛性: 如果一个函数序列 {f_n} 几乎处处收敛到函数 f，那么这意味着存在一个测度为零的集合 E，使得对于 E 之外的所有点 x，都有 lim_{n→∞} f_n(x) = f(x)。 勒贝格积分: 在勒贝格积分理论中，如果两个函数几乎处处相等，那么它们的积分相等。

只能有一个测度为0的集合？

不是，一个空间可以有无数个测度为 0 的集合。 以下是一些说明: 空集: 空集的测度总是为 0。 可数个测度为 0 的集合的并集: 如果有一系列测度为 0 的集合，那么它们的并集的测度也为 0。 由于可数个集合可以组成无数种不同的组合，这就意味着可以有无数个测度为 0 的集合。 单点集: 在勒贝格测度下，实数空间中的每个单点集 (例如 {1}, {π}) 的测度都为 0。 由于实数空间中有无数个点，因此也就有无数个测度为 0 的单点集。 康托尔集: 康托尔集是一个特殊的不可数集，它的勒贝格测度为 0，但它包含了无数个点。 “几乎处处” (almost everywhere) 的意义: “几乎处处” 的概念强调的是，不满足某个性质的点集的测度为 0，即使这个集合可能包含无数个点。 例子: 考虑实数空间 R 上的勒贝格测度。 每个有理数构成的单点集都是测度为 0 的集合。 所有有理数构成的集合也是测度为 0 的集合，尽管它包含了无穷多个点。 任何有限个或可数个实数构成的集合的测度都为 0。