定义

如果一个集合的闭包等于整个空间，那么这个集合被称为是稠密的。换句话说，空间中任何一点都可以被稠密集中的点任意逼近。

例子

在很多情况下，稠密集可以看作是空间的“骨架子”，因为它可以用来逼近空间中的任何元素，从而决定了空间的整体结构。

实数空间 R: 有理数集和无理数集都是 R 中的稠密集，它们互不相交。连续函数空间 C[a, b]: 多项式函数集、分段线性函数集、三角多项式函数集等都是 C[a, b] 中的稠密集 (在一致收敛的意义下)。希尔伯特空间: 可分的希尔伯特空间具有可数的正交基，该正交基张成的线性子空间是稠密的。

什么是闭包呢？

设 X 是一个拓扑空间，S 是 X 的一个子集。S 的闭包通常记作 cl(S) 或 $\overline{S}$，并定义为: cl(S) = 所有包含 S 的闭集的交集直观理解: 可以将闭包想象成将集合 S “填充”到它在拓扑空间中的“完整”形态。它包括 S 中的所有点，以及 S 的所有边界点，还有 S 中所有“缺失”的点，使得最终得到的集合是闭的。

是唯一的吗？

一个空间可以有无数个稠密集。例如，实数空间 R 中，任何包含有理数集的集合都是稠密的。稠密集可以是可数的，也可以是不可数的。例如，有理数集是实数空间中的可数稠密集，而无理数集是实数空间中的不可数稠密集。

稠密集之间的关系

包含关系: 如果一个稠密集包含另一个稠密集，那么较大的集合也是稠密的。交集关系: 两个稠密集的交集不一定是稠密的。例如，有理数集和无理数集都是实数空间中的稠密集，但它们的交集是空集，不是稠密的。并集关系: 两个稠密集的并集一定是稠密的。稠密性的保持: 稠密集的子集不一定是稠密的。稠密集的闭包一定是稠密的。稠密集在连续映射下的像不一定是稠密的，但在开映射下的像是稠密的。

怎么寻找？

利用已知的稠密集: 子集包含稠密集: 如果一个集合包含一个已知的稠密集，那么它也是稠密的。例如，任何包含有理数集的实数子集都是稠密的。稠密性的保持: 稠密集在连续映射下的像不一定是稠密的，但在开映射下的像是稠密的。可以通过构造合适的开映射来找到新的稠密集。
利用空间的特殊结构: 度量空间: 在度量空间中，如果一个集合与空间中每个元素的距离都任意小，那么它就是稠密的。例如，可以用有理数坐标的点集来逼近欧氏空间中的任意点，因此有理数坐标的点集是欧氏空间中的稠密集。赋范空间: 在赋范空间中，可以利用线性组合来构造稠密集。例如，在连续函数空间 C[a, b] 中，可以用多项式函数来逼近任意连续函数，因此多项式函数集是 C[a, b] 中的稠密集。希尔伯特空间: 可分的希尔伯特空间具有可数的正交基，该正交基张成的线性子空间是稠密的。
利用逼近定理: Stone-Weierstrass 定理: 该定理给出了函数空间中稠密子集的充分条件。例如，可以用该定理证明多项式函数集在连续函数空间 C[a, b] 中是稠密的。其他逼近定理: 泛函分析中还有许多其他的逼近定理，可以用来寻找函数空间中的稠密集。

如何判断？

利用闭包的性质: 证明集合的闭包包含空间中所有元素: 如果能证明集合的闭包包含空间中所有元素，那么它就是稠密的。证明集合的闭包的补集为空集: 如果能证明集合的闭包的补集为空集，那么它也是稠密的。
利用度量空间的性质: 证明集合与空间中每个元素的距离都任意小: 在度量空间中，如果能证明集合与空间中每个元素的距离都任意小，那么它就是稠密的。
利用空间的特殊结构: 利用空间的基: 如果一个集合与空间的每个基元素都相交，那么它就是稠密的。利用空间的线性结构: 在赋范空间中，如果一个集合的线性包是稠密的，那么它也是稠密的。

关我什么事

稠密集在泛函分析和拓扑学中扮演着重要的角色。它们可以用来逼近空间中的任意元素，从而简化对空间的研究。例如，我们可以利用稠密集来证明一些重要的定理，例如 Stone-Weierstrass 定理。